Η έμφυτη μαθηματική ικανότητα των βρεφών αφορά μία πρωτογενή αίσθηση και θεωρία του αριθμού. Ο εγκέφαλος των βρεφών αναπαριστά τους αριθμούς ως ποσότητα και καθιστά τα βρέφη ικανά να διακρίνουν μεταξύ του πολύ και του λίγου ( De Cruz & De Smedt, 2010 ). Η διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο ωθεί τους μαθητές να υπερβούν τις έμφυτες μαθηματικές τους ικανότητες, να μπορούν να διακρίνουν μεταξύ διαφορετικών αριθμών και να εκτελούν αριθμητικές πράξεις και υπολογισμούς. Στην παρούσα εργασία θα εξετάσουμε τις απόψεις που έχουν εκφραστεί και τις έρευνες που έχουν γίνει σχετικά με το θέμα των εγγενών μαθηματικών ικανοτήτων.

1.Η απέχθεια των παιδιών για τα μαθηματικά – εγγενής ή επίκτητη;
Ορισμένα παιδιά συναντούν μεγαλύτερες δυσκολίες στα μαθηματικά από άλλα. Συνήθως, αυτή η δύσκολη σχέση τους με τα μαθηματικά τα ακολουθεί σε όλη τους τη ζωή, αφού και ως ενήλικοι, όταν πρέπει να αντιμετωπίσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα, νιώθουν μεγάλο άγχος και δυσφορία .

Αυτή η απέχθεια για μια τόσο σημαντική νοητική δραστηριότητα μπορεί να εξηγηθεί από τις τραυματικές σχολικές εμπειρίες και τις σοβαρές ανεπάρκειες της διδασκαλίας του μαθήματος των μαθηματικών. Εξάλλου, η κακή φήμη των μαθηματικών μεταξύ των μαθητών φαίνεται ότι είναι πολύ διαδεδομένη αλλά και απολύτως δικαιολογημένη. Και αυτό γιατί πλήθος ερευνών επιβεβαιώνουν ότι ήδη από το δημοτικό υπάρχουν σε κάθε τάξη κάποια παιδιά που αντιμετωπίζουν ανυπέρβλητα μαθησιακά προβλήματα στην κατανόηση ακόμη και των στοιχειωδών μαθηματικών(Μανουσέλης,2008).

Αν τα νεογέννητα παιδιά , όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, διαθέτουν προλεκτικές αριθμητικές ικανότητες, τότε από την ίδια του τη φύση ο εγκέφαλός τους τα προδιαθέτει θετικά, και σε κάθε περίπτωση τα διευκολύνει σημαντικά, για τη μετέπειτα μαθηματική εκπαίδευση που θα δεχτούν από το σχολείο ( De Cruz & De Smedt, 2010). Συνεπώς ο υπεύθυνος για την απέχθεια πολλών παιδιών για τα μαθηματικά δεν είναι η φύση του μαθήματος αυτού αλλά το εκπαιδευτικό σύστημα.

2.Απόψεις και έρευνες περί εγγενούς μαθηματικής ικανότητας
α) Η «προϊστορία» του προβλήματος
Η απάντηση στο ερώτημα αν διαθέτουμε εκ φύσεως κάποιες βασικές μαθηματικές ικανότητες δεν είναι καθόλου προφανής. Αρκεί να σκεφτεί κανείς πόσο δύσκολο είναι να διακρίνουμε σαφώς ποιά ανθρώπινα διανοητικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή (έμφυτα) και ποιά επίκτητα.

Είναι αξιοσημείωτο ότι το πρόβλημα της εγγενούς μαθηματικής ικανότητας απασχόλησε το ανθρώπινο πνεύμα από τα αρχαία χρόνια. Ο Πλάτων στον διάλογο Μένων είναι ο πρώτος που αναφέρεται στο εν λόγω ζήτημα. Εκεί ο Σωκράτης οδηγεί μέσω της μαιευτικής μεθόδου ένα αγράμματο αγόρι στο να εξαγάγει θεωρίες της γεωμετρίας, κάτι που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το αγόρι έχει στο μυαλό του έμφυτες γεωμετρικές έννοιες. Στην πλατωνική θεωρία, αυτό αποτελεί απόδειξη του ότι το αγόρι επαναφέρει στο νου του ( ανάμνησις ) γνώσεις και έννοιες που ανέκαθεν κατείχε η αθάνατη ψυχή του. Ο Descartes επίσης υποστηρίζει ότι ο άνθρωπος έχει την έμφυτη γεωμετρική ικανότητα ( géometrie naturelle ) να συναγάγει την τρισδιάστατη απεικόνιση του χώρου από τη δισδιάστατες εικόνες των ματιών του. Ο Leibniz επιπλέον πιστεύει ότι , ενώ η γνώση της αριθμητικής αποτελεί αντικείμενο μάθησης, η γνωστική ικανότητα ως προϋπόθεση της γνώσης αυτής είναι έμφυτη. Με άλλα λόγια, η μάθηση φέρνει στο φως την έμφυτη μαθηματική γνωστική ικανότητα. Τέλος ο Κant σημειώνει ότι η ανάπτυξη της γεωμετρίας ως επιστήμης προϋποθέτει απαραίτητα την κατοχή από μέρους του ανθρώπου της έννοιας του χώρου, η οποία δεν μπορεί παρά να υπάρχει εγγενώς στον ανθρώπινο νου, εφόσον προχωράμε στην εξαγωγή συνθετικών a priori γεωμετρικών εννοιών ( De Cruz & De Smedt, 2010 ) .

O Peano ( 1889 – 1973 ) πίστευε ότι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να αναπτυχθούν από τρεις πρωτόγονες – πρωτογενείς ιδέες : το μηδέν, τον αριθμό και την ακολουθία. Επίσης οι φυσικοί αριθμοί αναπαριστώνται στον εγκέφαλο του ανθρώπου με βάση τα παρακάτω αξιώματα : 1. Το μηδέν είναι ένας αριθμός. 2. Η ακολουθία κάθε αριθμού είναι ένας αριθμός. 3. Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί που να έχουν τον ίδιο αριθμό ως ακολουθία τους ( ως επόμενό τους ) . 4. Το μηδέν δεν αποτελεί την ακολουθία κανενός αριθμού.
Με βάση τα παραπάνω μπορεί να γίνει κάθε μαθηματικός υπολογισμός, σύμφωνα με τον Peano(Campbell, 2005). Έτσι ο άνθρωπος είναι εν δυνάμει ικανός να προχωρήσει σε μαθηματικές πράξεις από τη στιγμή που γεννιέται αφού διαθέτει έμφυτα τα εννοιολογικά θεμέλια για να επεξεργαστεί τους φυσικούς αριθμούς.

β) Πειραματικές έρευνες του προβλήματος
Οι σημερινοί ερευνητές βαδίζουν πάνω στα χνάρια των προαναφερόμενων θεωριών αλλά έχουν πια στη διάθεσή τους την τεχνολογία που τους επιτρέπει να προχωρήσουν στην πειραματική διερεύνηση του προβλήματος. Τα σχετικά πειράματα έχουν καταλήξει στα παρακάτω συμπεράσματα :
α) Σε πειραματικές συνθήκες έχει αποδειχθεί ότι τα βρέφη κατέχουν μία ορισμένη ικανότητα. Για παράδειγμα, βρέφη, λίγες ώρες μετά τη γέννηση, μπορούν να κάνουν διάκριση ανάμεσα σε συλλογές δύο ή τριών αντικειμένων.
β) Η παραπάνω δεξιότητα μπορεί να εξηγηθεί αν υποθέσουμε την ύπαρξη κάποιας νοητικής δεξιότητας που στην προκειμένη περίπτωση αναφέρεται σε μία στοιχειώδη ικανότητα διάκρισης μεταξύ μικρών ομάδων.
γ) Αφού αυτή η δεξιότητα εμφανίζεται τόσο νωρίς, δε θα μπορούσε να αποκτηθεί ως μάθηση μέσω της εμπειρίας. Γιατί τα νεογέννητα δεν είχαν την ευκαιρία, μέσα στο σκοτεινό περιβάλλον της μήτρας, να μάθουν να διακρίνουν οπτικά ομάδες με διαφορετικό αριθμό αντικειμένων.
δ) Επομένως, η εν λόγω νοητική δομή, δηλαδή η διάκριση μεταξύ μικρών αριθμητικών συνόλων, είναι προφανώς έμφυτη. (De Cruz & De Smedt, 2010 )

Κατά τα τελευταία έτη, οι ερευνητές έχουν καταφέρει να ανακαλύψουν αρκετά στοιχεία σχετικά με το τι συμβαίνει μέσα στο βρεφικό εγκέφαλο. Και έχουν βρει ότι τα παιδιά γεννιούνται εφοδιασμένα με την ικανότητα βασικής μαθηματικής κατανόησης. Ο Brian Butterworth (1997) υποστηρίζει ότι τα νεογέννητα έχουν μαθηματικές προσδοκίες. Έτσι, εάν δείξεις σε ένα μωρό ένα αντικείμενο πίσω από μία οθόνη και στη συνέχεια δείξεις ένα άλλο αντικείμενο πίσω από την οθόνη, τότε το μωρό θα αναμένει να υπάρχουν δύο αντικείμενα πίσω από την οθόνη και θα νιώσει έκπληξη αν αυτό δεν πραγματοποιηθεί (Joyce, 2001 ).

H Αμερικανίδα νευροψυχολόγος Karen Wynn έχει επίσης αποδείξει ότι ήδη από τον πέμπτο μήνα υπάρχει μία στοιχειώδης αλλά ακριβής ικανότητα αριθμητικής αναπαράστασης που επιτρέπει στα βρέφη να δημιουργούν αριθμητικές προσδοκίες, λες και μπορούν να κάνουν μικρές αφαιρέσεις ή προσθέσεις. Κατά τα πειράματα της Karen Wynn το 2002 παρατηρήθηκε διαφορά μεταξύ της χρονικής διάρκειας κατά την οποία τα βρέφη κοιτάζουν σωστές και λανθασμένες αριθμητικές πράξεις. Παρατηρήθηκε δηλαδή ότι κοιτάζουν για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα αριθμητικές πράξεις που είναι λανθασμένες. Αυτή η διαφορά στη χρονική διάρκεια παρατήρησης από τα βρέφη αριθμητικών πράξεων αποδίδεται στην ικανότητα των βρεφών να διακρίνουν μεταξύ σωστών και λανθασμένων αριθμητικών πράξεων. Ο χρόνος δε των πέντε μηνών ζωής των βρεφών είναι σίγουρα ανεπαρκής για να καταστήσει τα βρέφη ικανά να διεξαγάγουν αριθμητικές πράξεις μέσω της εμπειρίας. Συνεπώς, η δεξιότητα αυτή αποδίδεται στην έμφυτη ικανότητα της διάκρισης μεταξύ σωστών και λανθασμένων αριθμητικών πράξεων (De Cruz & De Smedt, 2010 ).

Για να απαντήσουν στο ερώτημα αν η μαθηματική ικανότητα είναι έμφυτη ή επίκτητη ,οι γνωσιακοί ψυχολόγοι και οι νευροεπιστήμονες έχουν καταφύγει σε έξυπνα πειράματα με παιδιά στη βρεφική ή νηπιακή ηλικία. Πρωτοποριακές σε αυτόν τον τομέα είναι οι έρευνες του Γάλλου Stanislas Dehaene και των συνεργατών του σε νοσοκομείο του Παρισιού (Orsay ). Αυτοί οι ερευνητές απέδειξαν ότι στον εγκέφαλό μας υπάρχει μια ειδική περιοχή που εμπλέκεται σε αριθμητικές πράξεις, οι οποίες είναι πλήρως αποσυνδεδεμένες από τα γλωσσικά σύμβολα. O Dehaene και οι συνεργάτες του (1999) ανακάλυψαν ότι για τους ακριβείς αριθμητικούς υπολογισμούς ενεργοποιείται μια εγκεφαλική ζώνη του μετωπιαίου λοβού στο πρόσθιο τμήμα του αριστερού εγκεφαλικού ημισφαιρίου, περιοχή που ήταν γνωστό ότι εμπλέκεται και στις γλωσσικές διεργασίες. Αντίθετα, για τις κατά προσέγγιση αριθμητικές απαντήσεις ενεργοποιείται μια εντελώς διαφορετική περιοχή: ένα ευρύτερο πεδίο του βρεγματικού φλοιού και των δύο εγκεφαλικών ημισφαιρίων (Μανουσέλης,2008).

Οι ερευνητές λοιπόν κατέληξαν στο εύλογο συμπέρασμα ότι οι ακριβείς αριθμητικοί υπολογισμοί βασίζονται σε ένα λεκτικό-συμβολικό σύστημα αναπαράστασης των αριθμών, ενώ οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί βασίζονται σε ένα χωρικό-οπτικό σύστημα αναπαράστασης των αριθμητικών ποσοτήτων. Οι πρόωρες μαθηματικές ικανότητες των βρεφών προκύπτουν πιθανόν από αυτόν τον δεύτερο τύπο εγκεφαλικής αναπαράστασης. Καθώς όμως ενηλικιώνονται τα παιδιά, αυτή η αρχική τους «αίσθηση των αριθμών» διαπλέκεται σταδιακά με τις λεκτικές-συμβολικές αναπαραστάσεις των αριθμών, γεννώντας πιο περίπλοκες μαθηματικές ικανότητες που ενδέχεται να οδηγήσουν στην ανάπτυξη της αφηρημένης μαθηματικής σκέψης ( Jordan, Brannon, 2006 ).

3. Μαθηματικές δεξιότητες και λεκτική ικανότητα
Τα παιδιά ήδη από τους πρώτους μήνες της ζωής τους είναι σε θέση να διακρίνουν μικρές αλλά διαφορετικές μεταξύ τους αριθμητικές ποσότητες και αυτό επιβεβαιώνεται από πειραματικές μελέτες σε όλον τον κόσμο. Αυτή την πρωτογενή ικανότητα να διακρίνουν αμέσως διαφορετικά αριθμητικά σύνολα αντικειμένων, αρκεί βέβαια να είναι αρκετά μικρά (από ένα έως τρία), οι ειδικοί την αποκαλούν subitizing, δηλαδή πρώιμη προλεκτική ικανότητα για άμεση και στοιχειώδη απαρίθμηση. Για παράδειγμα, τα βρέφη, ήδη κατά την πρώτη εβδομάδα της ζωής τους αντιλαμβάνονται πότε αλλάζει ο αριθμός των αντικειμένων που κοιτάζουν.

Σύμφωνα με τον Brian Butterworth ( 1997), υπάρχουν ενδείξεις ότι η πρώιμη μαθηματική ανάπτυξη συνδέεται με ορισμένες σωματικές ικανότητες. Όλοι αρχίζουν να μετρούν με τα δάχτυλά τους και μάλιστα πολλοί το συνεχίζουν σε όλη τη διάρκεια της ζωής τους. Έχει σχετικά παρατηρηθεί ότι άτομα με προβλήματα στην κινητικότητα των άκρων δυσκολεύονται περισσότερο από τους άλλους στα μαθηματικά τόσο ως παιδιά όσο και ως ενήλικες. Ενδεχομένως συνεπώς να υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ μαθηματικής ικανότητας και σωματικών χαρακτηριστικών(Joyce, 2001).

Μέχρι πρόσφατα οι ειδικοί θεωρούσαν δεδομένο ότι η ανάπτυξη της γλώσσας ήταν η αναγκαία και ικανή προϋπόθεση για την εκδήλωση κάθε ανώτερης διανοητικής δραστηριότητας, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών. Έτσι υπήρχε η αντίληψη ότι τα βρέφη, όπως ακριβώς και τα ζώα, είναι ανίκανα να διαχωρίσουν αριθμητικές έννοιες εφόσον δεν διαθέτουν τη γλωσσική δυνατότητα να μεταδώσουν ή να κατανοήσουν αφηρημένες έννοιες όπως είναι οι έννοιες των αριθμών ( Campbell, 2005 ).

Ωστόσο, οι πιο πρόσφατες και συστηματικές έρευνες πάνω σε βρέφη και μικρά νήπια απέδειξαν ότι αυτό δεν ισχύει. Αντίθετα, είναι πλέον σαφές ότι υπάρχουν έμφυτες και προλεκτικές αριθμητικές ικανότητες πάνω στις οποίες οικοδομούνται σταδιακά οι πιο αφηρημένες, συμβολικές και συνθετότερες μαθηματικές ικανότητες.

Αυτή την ανακάλυψη επιβεβαίωσαν πρόσφατα και οι πειραματικές μελέτες του Brian Butterworth, καθηγητή Νευροψυχολογίας στο University College του Λονδίνου. Η συγκεκριμένη έρευνα του Butterworth(1) έγινε στην Αυστραλία και απέδειξε ότι «Οι υπολογιστικές ικανότητες των παιδιών είναι πάντα οι ίδιες», είτε πρόκειται για παιδιά που μιλάνε αγγλικά, μια γλώσσα πλούσια σε μαθηματικές λέξεις και έννοιες, είτε πρόκειται για την «πρωτόγονη γλώσσα» των Αβορίγινων, ντόπιων κατοίκων της Αυστραλίας, που έχει ελάχιστες μαθηματικές λέξεις ή εκφράσεις. Πράγματι, υποβάλλοντας σε κάποια ειδικά μαθηματικά τεστ τα παιδιά των Αβορίγινων ηλικίας 4-7 ετών, κατέληξαν ότι όλα ανεξαιρέτως παρουσίαζαν τις ίδιες επιδόσεις στην αριθμητική, είτε η γλώσσα τους ήταν πλούσια σε αριθμητικές έννοιες είτε όχι. Και τούτο αποτελεί απόδειξη ότι οι στοιχειώδεις μαθηματικές ικανότητες είναι εγγενείς και ανεξάρτητες από τη δυνατότητα ή μη της γλωσσικής τους έκφρασης (Μανουσέλης,2008).
Επομένως, ίσως είναι πιο σωστό να πούμε όχι ότι δεν ευσταθεί η θεωρία του Piazet, αλλά ότι προτείνεται άλλη ερμηνεία για τη θεωρία του , σύμφωνα με την οποία τα παιδιά δεν φαίνεται να έχουν καμία μαθηματική ικανότητα μέχρι την ηλικία των 4 ή 5 ετών. Ο Piaget ( 1952 ) πιστεύει ότι η διαδικασία της αρίθμησης στα βρέφη συντελείται μέσω μίας ασυνείδητης μηχανικής επανάληψης (Campbell, 2005 ). Όπως όμως έχουν δείξει οι προαναφερόμενες πρόσφατες έρευνες, «το ανθρώπινο είδος», όπως λέει ο Brian Butterworth (2), «γεννιέται με την ικανότητα να αντιλαμβάνεται τον κόσμο μέσω των αριθμών, όπως ακριβώς γεννιέται με την ικανότητα να τον βλέπει έγχρωμο».


ΕΠΙΛΟΓΟΣ
Υπάρχουν μαθηματικές ικανότητες που είναι προφανώς έμφυτες στον άνθρωπο. Τα νεογέννητα βρέφη λανθασμένα λοιπόν θεωρούνται ικανά μόνο για να τρώνε, να κοιμούνται ή να κλαίνε. Στην πραγματικότητα είναι εν δυνάμει μαθηματικοί επιστήμονες ( Jοyce, 2001 ) . Ερχόμαστε στον κόσμο εφοδιασμένοι με βασικές αριθμητικές ικανότητες και ο,τιδήποτε μαθαίνουμε στη συνέχεια της ζωής μας για τα μαθηματικά έχει ως θεμέλιο αυτές τις εγγενείς ικανότητες. Φυσικά, το πόσο καλός θα είναι ο καθένας μας στα μαθηματικά εξαρτάται από τον καθηγητή μας στο σχολείο και γενικότερα από την ποιότητα της εκπαίδευσης που θα λάβουμε. Η φύση πάντως παρέχει με τη γέννηση σε όλους μας τη δυνατότητα να αποκτήσουμε μαθηματικές δεξιότητες.


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Butterworth, Β., 1997, Mathematical Cognition, Psychology Press
2. Campbell, J., 2005,Handbook of mathematical cognition, Psychology Press.
3. Dehaene et al., 1999, Sources of Mathematical Thinking: Behavioural & Brain Imaging Evidence, Psychological Science 284, 970-974.
4. De Cruz, H., & De Smedt, J.,( 2010), The Innateness Hypothesis and Mathematical Concepts .Topoi, 29(1), 3-13.
5. Joyce, H., 2001, Natural born mathematicians, Plus Magazine, vol. 19
6. Jordan, K.E. & Brannon, E.M., 2006, The multisensory representation of number in infancy.Proceedings.Journal of Vision, 6, 186a.
7. Μανουσέλης, Σ., Τα μαθηματικά είναι στη φύση μας , άρθρο στην εφημερίδα Ελευθεροτυπία, 6 – 9 – 2008.
8. Piaget, J., 1952, The child’s conception of number, New York: Norton

Ηλεκτρονικές Πηγές:
(1) http://plus.maths.org/issue19/features/butterworth/index.html
(2) http://www.mathematicalbrain.com/


Κάλεσε τώρα στο Τηλ. 697 2057 977
... και αξιοποίησε μια απο τις υπηρεσίες συμβουλευτικής, ψυχοθεραπείας και προσωπικής ανάπτυξης
Δενδραλίδη Λίνα
Ψυχολόγος - Ψυχοθεραπεύτρια Bsc., Msc.
Πτυχιούχος Παντείου Παν/μείου
Master Γνωσιακή Επιστήμη, Παν/μείου Αθηνών
Μέλος Συλλόγου Ελλήνων Ψυχολόγων